Clase de Curvatura

Vector Tangente Unitario

T = r'(t)

|r'(t)|

Vector Binormal Unitario

B = B

|B|

Vector Normal Principal Unitario

N = N

|N|

Curvatura de Flexión(k)

La curvatura de flexión o simplemente

curvatura se define como:

Se llama radio de curvatura de flexión al inverso de la curvatura de flexión
La curvatura de flexión es la razón de cambio de dirección del vector T de un punto a otro

Curvatura de Torsión (T)

La torsión nos indica el alejamiento o acercamiento de la curva a un plano osculador

Las curvaturas de Flexión y Torsión se calculan también

FUNCIONES ESCALARES DE VARIAS VARIABLES

Una función escalar, también llamada función real de varias variables ( o de variable múltiple) es una aplicación que representamos por

f:A⊆Rn⇒R(x1,x2,...,xn)⇒z=f(x1,x2,...,xn), donde el conjunto

A⊆Rn se llama dominio de

f, se representa por

A=Dom(f)=Domf.

El dominio de

f, es el conjunto de los elementos de

Rn que tienen imagen mediante

f, es decir:

A=Domf={(x1,x2,...,xn)∈Rn/∃f(x1,x2,...,xn)}

Llamamos imagen de la función

f al conjunto de los números reales que tienen correspondencia con algún elemento del dominio, se representa por

Im(f).

Im(f)={z∈R/∃(x1,x2,...,xn)∈A⊆Rn verificandoz=f(x1,x2,...,xn)}

Descriptores:

Funciones de varias variables

Funciones

Ejemplo:

La función

f:A⊆R2⟶R definida por

f(x,y)=+x2y−−−√. Es una función escalar de dos variables. Determinar su dominio y su imagen.

Dominio de la función.

∃f(x,y)⇔x2y≥0⇔y≥0⇒Dom(f)={(x,y)∈R2/y≥0}

Imagen de la función.

x2y≥0⇒+x2y−−−√≥0⇒Im(f)=[0,+∞[⊂R

CURVAS DE NIVEL

Las curvas de nivel de una función f(x,y) serán las curvas cuyas ecuaciones son f(x,y)= k, donde k es una constante en el rango. Las curvas de nivel sirven para realizar la topología de una 1 región .

i)La función de la temperatura, las curvas de nivel se denominan ISOTERMAS.

ii)La función de la potenciación, las curvas de nivel se denominan EQUIPOS TENCIALES.

iii)La función de la Presión las curvas de nivel se denominan ISOBARAS.

Si las curvas de nivel se representan en 3D, entonces se denominan curvas de contorno

Consideremos la función z = x2 + y2. Tomando k > 0, la curva de nivel correspondiente a z = k es la circunferencia x2 + y2 = k y tomando k = 0 la curva de nivel corresponde a la descrita por los puntos (x, y) tales que x2 + y2 = 0 (que corresponde únicamente al punto (0, 0))

Límites y continuidad

Límites en funciones vectoriales

La definición de límite es análoga a la del caso real y la generaliza. Dada una función vectorial, $f\colon I\to \mathbb{R}^m$ , $a\in I\subset \mathbb{R}$ un punto de acumulación (es decir, que hay puntos del dominio tan cerca de

como queramos), y $v\in\mathbb{R}^m$ , decimos que

es el límite de

cuando

tiende a

, $\lim_{t\to a}f(t)=v$ , si ocurre que

$\begin{displaymath}\forall \epsilon >0, \exists \delta >0\mbox{ tal que } \mid \mid f(t)-v \mid \mid <\epsilon\mbox{ si }0< \mid t-a \mid <\delta\end{displaymath}$

Como la norma en el caso $\mathbb{R}^m=\mathbb{R}$ coincide con el valor absoluto, esta definición generaliza a la que conocemos de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ .

Límites

Sea f una función de dos variables definida en un disco abierto centrado en (Xo,Yo), excepto quizás en el punto (Xo,Yo), y sea L un número real. Entonces,

siempre que

si para cada E>0 existe un d>0 tal que

Gráficamente, esta definición de límite implica que para cualquier punto (x,y) no es igual (Xo,Yo) en el disco de radio d, el v f(x,y) esta entre L+E YL-E
alor de

a definición anterior se refiere sólo a la distancia entre (x, y) y (Xo,Yo) . No habla a la dirección de aproximación. Por eso, si el límite existe, entonces f(x,y) debe aproximarse a mismo límite, sin importar la forma en que (x, y) se aproxime a (Xo,Yo) . Así pues, si podemos encontrar dos diferentes trayectorias de acercamiento a lo largo de las cuales f(x,y) tiene distintos límites, entonces se concluye que el límite no existe.

Si f(x,y) ---->L1 conforme (x, y)----> (Xo,Yo) a lo largo de una trayectoria C1 y f(x,y)--->L2 conforme x, y)----> (Xo,Yo a lo largo de una trayectoria C2 ,donde L1 NO ES IGUAL A L2, entonces el límite no existe.

Continuidad

Para demostrar que f(x,y) es continua en (a,b) entonces debe cumplirse que:

i) Existe f(a,b)

ii)Existe

iii)

=f(a,b)

Se pueden presentar dos tipos de discontinuidad:

Evitable
Se redefine la función para obligarle a cumple la condición

Inevitable
Si no existe el límite de la función

DERIVADAS PARCIALES

Derivada parcial de una función de varias variables.

Sea una función de dos variables z = f(x, y), se definen las derivadas parciales:

(Una definición obvia si la comparamos con la derivada de una función de una variable)

Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable "y" como si fuera una constante, mientras que al hacer la derivada de z "respecto de y" consideramos a la variable "x" como si fuera constante.

Veamos, como ejemplo, las dos derivadas parciales de la función:

Para ello recordemos que la derivada de la función z = e^u es: z’ = u’ . e^u , siendo u en nuestro caso: x² + y² , entonces la derivada de u respecto x es 2x (con la yconstante), mientras que la derivada de u respecto y es 2y (con la x constante). Así tenemos:

Otras formas de expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a x son:

mientras que para expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a y :

Esta definición de derivada se extiende a funciones de tres o más variables, por ejemplo, para una función de tres variables w = f(x,y,z) sus tres derivadas parciales son:

en cada una de ellas se consideran constantes los dos parametros distintos a los que se realiza la derivada.

Diferencial de una función de varias variables.

Sea una función de dos variables z = f(x, y), se define la diferencial de esta función como:

Geométricamente hay que interpretar las diferenciales como "incrementos infinitesimales".

Como ejemplo, expresemos la diferencial de la función:

, ya que hemos realizado anteriormente las dos derivadas parciales:

Tanto en las derivadas como en las diferenciales, se suele hablar de valores en un punto P(a, b), para ello se sustituye en ellas el valor de x por a, y el valor de y porb. Por ejemplo, las derivadas y la diferencial en el punto P(1, 2) se calculan sustituyendo x=1, y=2.

Para la función

las derivadas en el punto P(1, 2) son: