Abril

Ecuaciones del plano en el espacio

1)Ecuación del plano dado un punto y el vector normal del plano.

Ecuación vectorial del plano: (r-r0).n=0

Resolviendo la ecuación anterior obtendremos una ecuación de la forma: Ax+By+Cz-Ax0-By0-Cz0=0, donde "-Ax0-By0-Cz" es igual a D, al ser valores constantes. Por tanto:

La Ecuación general del plano es: Ax+By+Cz+D=0

• Casos particulares o ecuaciones incompletas del plano

i)Ax+By+Cz+D = 0 : Si C=0 --> Ax+By+D = 0   (Plano con generatriz paralela al eje OZ)

ii) Si B=0 --> Ax+Cz+D = 0   (Plano con generatriz paralela al eje OY)

iii) Si A=0 --> By+Cz+D = 0   (Plano con generatriz paralela al eje OX)

iv) Si A=0 ^ B=0 --> Cz+D = 0 (Plano paralelo al plano XOY)

v) Si A=0 ^ C=0 --> By+D = 0 (Plano paralelo al plano XOZ)

vi) Si B=0 ^ C=0 --> Ax+D = 0 (Plano paralelo al plano YOZ)

vii) Si D=0 --> Ax+By+Cz = 0 (Plano que pasa por el origen (0,0,0))

Ejemplos de gráficos: 

• Ecuación segmentaria del plano

Este tipo de ecuaciones se llaman segmentarias porque los planos inclinados generan segmentos de recta al cortarse con los ejes coordenados, estos segmentos los llamaremos a,b y c.

Ecuación segmentaria del plano: X/a + Y/b + Z/c = 1

                                                     

Día de la clase:

05/10/15

Referencias del tema:

*Apuntes de clase.

*http://www.vadenumeros.es/segundo/ecuaciones-de-un-plano.htm

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• Producto Mixto Para el Cálculo de la Ecuación de un Plano

Hablamos de producto mixto porque intervienen el producto escalar 
y el producto vectorial y esto junto con con el conocimiento de 3 puntos
de que pertenezcan a un plano, podemos hallar la ecuación del mismo.

Se trata del producto escalar de un vector por el producto
 vectorial de los otros dos (Estos vectores los podemos hallar
 usando los 3 puntos dados), obteniendo un resultado numérico 
como el procedente del cálculo del volumen 
de un paralelepípedo(poliedro cuyas caras son paralelogramos).

Sean  los vectores. El producto es el producto
mixto de tres vectores.

En realidad, estamos multiplicando escalarmente, un vector por el producto vectorial 

de dos vectores, que sería como decir:multiplicamos el área de la base por la altura que

 equivale al volumen de un paralelepípedo.

Sirviéndonos de lo ya estudiado tendríamos suponiendo las coordenadas de los

 vectores:

La respuesta siempre se debe dar con su valor absoluto.

• Haz de Planos

Un haz de planos es un conjunto de planos que se intersecan en una misma recta.

Si r viene definida por sus ecuaciones implícitas:

la ecuación del haz de planos de eje r viene dada por la igualdad:

                           Si dividimos por λ y hacemos ,

la ecuación del haz resulta:

• Ecuación Vectorial de la Esfera

El lugar geométrico de una esfera, es el lugar de un punto en el espacio que 
se mueve de tal manera que su distancia a un punto fijo es siempre constante.
El punto fijo se llama centro y la distancia radio.

Su ecuación es muy parecida a la de la circunferencia, esta es:
(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r², 
donde r es el radio y (a, b, c) es el centro del cual hablamos.

En el caso de la circunferencia hablamos de recta tangente, pero en el caso de la esfera hablaremos del plano
 tangente a una esfera, el cual se obtiene buscando el vector que describe el centro con el punto de contacto 
y determinar 
la ecuación de la normal al plano.
La forma general de la ecuación de la esfera es : x² + y² +z² + Gx + Hy + Iz + K = 0  

• Ejercicio

Encuentre una ecuación de la esfera con centro en (-2,4,-6) que además

a) Sea tangente en yz 

b) Sea tangente en xz 

c) Sea tangente en xy

-Sabemos que la ecuación de la esfera es

(x-h)^2+(y-k)^2+(z-l)^2=r^2

h,k y l ya los conocemos porque el centro de la esfera es un dato dado y no está desplazado
queremos que los planos sean tangente a la esfera, por tanto sabemos que ocuparemos las
 ecuaciones
x=0, y=0 y z=0

sabemos que la distancia de cualquiera de los Planos al centro de la esfera es el radio por tanto

AX+BY+CZ+D /raiz(A^2+B^2+C^2)

2=r
4=r
6=r


así que las ecuaciones son:

a) (x+2)^2+(y-4)^2+(z+6)^2=4

b) (x+2)^2+(y-4)^2+(z+6)^2=16

c) (x+2)^2+(y-4)^2+(z+6)^2=36 

• Escriba la desigualdad para describir la región siguiente:

El cilindro sólido que está sobre o debajo del plano z=8 y sobre o por encima del disco del plano

 xy con centro en el origen y radio=2.

x^2 + y^2 <= 4 , siendo z>=0

• Cilindros y Superficies Cuádricas

Cilindro: Superficie generada por las líneas rectas llamadas generatrices que intersecan a una
curva plana.

Ejemplos:

z = x^2

Referencias al tema:

*http://www.academia.edu/6133586/Cilindros_y_Superficies_Cuadricas

*https://www.youtube.com/watch?v=nnXC_d50OsI&list=PLVEkI8DcwbMs2AUWHRKg3dqcJM4-7I9-i&index=66

*https://www.youtube.com/watch?v=0_aRe5qLpH0

• Cuadráticas

Son superficies que tienen por ecuación:

Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0

Dependiendo de los valores de los coeficientes generamos: esferas, elipsoides, hiperboloides...etc.

Algunos ejemplos bastantes relevantes son:

Referencias al tema:

*http://www.academia.edu/6133586/Cilindros_y_Superficies_Cuadricas

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• Funciones Vectoriales de Variable Real

Una función vectorial es una función que transforma un número real en un vector:

Donde x(t), y(t) y z(t) son funciones llamadas funciones componentes de variable real del parámetro t.

Así, se dice que F es continua, derivable o integrable, si lo son x(t), y(t) y z(t). La función vectorial también
se puede encontrar representada como:

 Por tanto, se llama función vectorial a cualquier función de la forma:

• DOMINIO

El dominio de una función vectorial está dado por la intersección de los dominios de cada una de las funciones componentes, es decir:

• REPRESENTACIÓN GRÁFICA 

La representación gráfica de una función vectorial es aquella curva C que describen los puntos finales de los vectores 
que forman parte de la función para toda t que pertenece al dominio de la función.

Un punto de la curva C tiene la representación cartesiana (x,y,z) donde:

Las cuales se llaman ecuaciones paramétricas de C. Al asignar números reales a t se elimina el parámetro
 y se obtienen
 ecuaciones cartesianas de C.

Operaciones con Funciones Vectoriales

• Límite de Una Función Vectorial

Dada una función vectorial 

Esto significa que cuando t tiende al valor de a, el vector:
se acerca más y más al vector ℓ . 

Para que exista el límite de la función, debe existir el límite de cada una de las funciones componentes. 


CONTINUIDAD 

Sea :

Se dice que es continua en a sí y sólo si:

Teorema: Una función con valores vectoriales r(t) es continua en t = a si y sólo si sus funciones componentes
 f ,g y h son continuas en t = a.

Referencias al tema:

*http://personal.us.es/egarme/resumen/resumentema8fmi.pdf

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Derivación e Integración

Sea la función vectorial 
entonces diremos que

 es la derivada de dicha función y se define mediante:

Para valores cualesquiera de t para los que existe el límite.

 Cuando el límite existe para t = a se dice que 
es derivable en t = a.

Teorema, Sea una función vectorial y supongamos que sus funciones componentes f ,g y h son todas
derivables para algún valor de t, entonces 
es derivable en ese valor de t y su derivada está dada por:

• Propiedades

Supongamos que r(t) y s(t) son funciones vectoriales derivables, que f(t) es una función escalar también
 derivable y que c es un escalar cualquiera, entonces:

Cuando una función vectorial definida en un intervalo abierto de R es derivable indefinidamente y su primera

derivada no es nula, decimos que se trata de una curva regular. 

Al vector 

se le llama vector de posición de la curva y a los vectores  y se les llama, respectivamente, vectores velocidad y aceleración. 

De modo que la rapidez en un instante t es | | , es importante observar que la rapidez es un escalar,
mientras que la velocidad un vector. 

Al vector  también se le llama vector tangente a la curva en t, y el vector:

Integración de Funciones Vectoriales

La función vectorial  , es una antiderivada de la función vectorial siempre y cuando:

INTEGRAL INDEFINIDA 

Si  es cualquier antiderivada de , la integral indefinida de esta se define como

Donde c es un vector constante arbitrario.


 INTEGRAL DEFINIDA 

Para la función vectorial , se define la integral definida de la misma :

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO INTEGRAL (Regla de Barrow) 

Supongamos que  es una antiderivada de  en el intervalo [a,b] diremos:

Referencias al tema:

*http://personal.us.es/egarme/resumen/resumentema8fmi.pdf

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Longitud de Arco

Teorema. Si C es la gráfica de un función F en un intervalo [a,b] y si F’ es continua en dicho intervalo, entonces
C tiene una longitud L y:

Ocasionalmente se expresa la longitud de una curva C por la ecuación: 

La longitud de arco de curva entre dos puntos F(a) y F(b) viene dada por la fórmula: 

Vector Tangente, Normal y Binormal

• VECTOR TANGENTE

Como ya lo vimos anteriormente, al vector  también se le llama vector tangente a la curva  en t, 

y el vector:

• VECTOR NORMAL

• VECTOR BINORMAL 

Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares entre sí, juntos forman un sistema de referencia móvil conocido como Triedro de Frénet-Serret.

Curvatura

Dada una curva regular F(t) se puede reparametrizar, de manera que la longitud de la curva entre dos puntos
 a y b
 coincida con la longitud del intervalo con origen en a y extremo en b; en este caso se dice que la curva está parametrizada
por la longitud de arco,

que llamamos.

En este caso el vector tangente siempre es unitario.

Se define la curvatura k como la variación del vector tangente respecto a la longitud de arco. 

La curvatura viene a medir como se “tuerce” la curva respecto de su longitud. Esta definición es bastante

 intuitiva, 

pero no es fácil de calcular. Para curvas, no necesariamente parametrizadas por el arco, se puede calcular 

como 

Referencias al tema:

*http://personal.us.es/egarme/resumen/resumentema8fmi.pdf

*http://mitecnologico.com/sistemas/Main/VectorTangenteNormalYBinormal