Julio

Campos vectoriales y escalares

En matemáticas, un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial. Es una expresión de cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclidiano, de la forma ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$.

Los campos vectoriales se utilizan en física, por ejemplo, para representar la velocidad y la dirección de un fluido en el espacio, o la intensidad y la dirección de fuerzas como la gravitatoria o la fuerza electromagnética.

Como expresión matemática rigurosa, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciales como secciones del fibra do tangente de la variedad. Este es el tipo de tratamiento necesario para modelizar el espacio-tiempo curvo de la teoría general de la relatividad por ejemplo.

Un campo vectorial sobre un subconjunto del espacio euclidiano ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$ es una función con valores vectoriales:

${\displaystyle \mathbf {F} :X\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\,}$

Se dice que ${\displaystyle \mathbf {F} }$ es un campo vectorial C^k si como función es k veces diferenciable con continuidad en X. Un campo vectorial se puede visualizar como un espacio X con un vector n- dimensional unido a cada punto en X.

Operaciones con campos vectoriales

Dados dos campos vectoriales C^k F, G definidos sobre X y una función C^k a valores reales f definida sobre X, se definen las operaciones producto por escalar y adición:

${\displaystyle (f\mathbf {F} )(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )\mathbf {F} (\mathbf {x} )}$

Debido a la linealidad de la función (F+G):

${\displaystyle \mathbf {(F+G)} (\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )+\mathbf {G} (\mathbf {x} )}$

define el módulo de los campos vectoriales C^k sobre el anillo de las funciones C^k. Alternativamente el conjunto de todos los campos vectoriales sobre un determinado subconjunto X es en sí mismo un espacio vectorial.

Campo gradiente

Los campos vectoriales se pueden construir a partir de campos escalares usando el operador diferencial vectorial gradiente que da lugar a la definición siguiente.

Un campo vectorial C^k F sobre X se llama un campo gradiente o campo conservativo si existe una función C^k+1 a valores reales f: X → R (un campo escalar) de modo que

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\qquad (\mathbf {x} \in X)}$

La integral curvilínea sobre cualquier curva cerrada (e.g. γ(a) = γ(b)) en un campo gradiente es siempre cero.

${\displaystyle \oint _{\gamma }\langle \mathbf {F} (\mathbf {x} ),d\mathbf {x} \rangle =\int _{a}^{b}\langle \nabla f(\mathbf {\gamma } (t)),\mathbf {\gamma } '(t)\rangle \,dt=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}f\circ \mathbf {\gamma } (t)\,dt=f(\mathbf {\gamma } (b))-f(\mathbf {\gamma } (a))=0}$

Divergencia:

La divergencia de un vector es el límite de su integral de superficie por unidad de volumen, a medida que el volumen encerrado por la superficie tiende a “0”:

, donde “dV” es un volumen infinitesimal limitado por una superficie infinitesimal. Despejando “dV” e integrando:

Ésta última ecuación de conoce como Teorema de Gauss o de la divergencia.

Si al calcular la divergencia en un punto, ésta resulta ser positiva, ese punto se considera manantial, y si resulta negativa, ese punto es un sumidero, y si resultase neutra en todos los puntos del campo, el campo se dice que essolenoidal.

Si:

, entonces:

, cualquiera que sea la forma y tamaño de esta.

Integral curvilínea de un campo escalar

Para f : R² → R un campo escalar, la integral sobre la curva C (también llamada, integral de trayectoria), parametrizada como r(t)=x(t)i+y(t)j con t ${\displaystyle \in }$ [a, b], está definida como:

${\displaystyle \int _{C}f\ ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))\|\mathbf {r} '(t)\|\,dt=\int _{a}^{b}f(\mathbf {x} (t),\mathbf {y} (t)){\sqrt {[\mathbf {x} '(t)]^{2}+[\mathbf {y} '(t)]^{2}}}dt}$

donde: r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C. Las integrales de trayectoria son independientes de la parametrización r(t), porque solo depende de la longitud del arco, también son independientes de la dirección de la parametrización r(t).

Integral curvilínea de un campo vectorial

Para F : Rⁿ → Rⁿ un campo vectorial, la integral de línea sobre la curva C, parametrizada como r(t) con t ${\displaystyle \in }$ [a, b], está definida como:

${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt.}$

donde ${\displaystyle \cdot }$ es el producto escalar y r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C.

Las integrales de línea de un campo vectorial son independientes de la parametrización siempre y cuando las distintas parametrizaciones mantengan el sentido del recorrido de la curva. En caso de elegirse dos parametrizaciones con sentidos de recorrido contrarios, las integrales de línea del mismo campo vectorial resultarán con iguales módulos y signos contrarios.

Otra forma de visualizar esta construcción es considerar que

${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,d\mathbf {x} =\int _{C}\mathbf {F} _{1}dx^{1}+\mathbf {F} _{2}dx^{2}+\cdots +\mathbf {F} _{n}dx^{n}}$

donde se aprecia que la integral de línea es un operador que asigna un número real al par ${\displaystyle (C,\mathbf {\omega } )}$ donde

${\displaystyle \mathbf {\omega } =\mathbf {F} _{1}dx^{1}+\mathbf {F} _{2}dx^{2}+\cdots +\mathbf {F} _{n}dx^{n}}$

es una 1-forma.

Independencia de la curva de integración

Si el campo vectorial F es el gradiente de un campo escalar G (o sea, si el campo vectorial F es conservativo), esto es:

${\displaystyle \nabla G=\mathbf {F} ,}$

entonces la derivada de la función composición de G y r(t) es:

${\displaystyle {\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}=\nabla G(\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)}$

con lo cual, evaluamos la integral de línea de esta manera:

${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,d\mathbf {x} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt=\int _{a}^{b}{\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}\,dt=G(\mathbf {r} (b))-G(\mathbf {r} (a)).}$

La integral de F sobre C depende solamente de los valores en los puntos r(b) y r(a) y es independiente del camino entre a y b.

Por esta razón, un campo vectorial que es el gradiente de un campo escalar, es llamado independiente del camino o también conservativo. Cabe destacar que si tenemos un campo arbitrario; tal que, las derivadas parciales iteradas sean iguales y además sea convexo; entonces este campo es el gradiente de una función potencial φ. Y por lo mencionado anteriormente la integral de línea del campo es independiente del camino.

Teorema fundamental para integrales de línea

integrales de linea

Sea α una curva suave definida de [a,b] en Rn.  Sea F un campo vectorial definido y acotado sobre la gráfica  de α. La integral de línea de F a lo largo de α se representa con el cambio y se define por:

Siempre que la integral exista.

Para las integrales de línea consideramos campos vectoriales conservativos cuya integral depende de los extremos de la trayectoria y no del camino que los une

El teorema nos dice que podemos evaluar la integral de línea de un campo vectorial conservativo ( el campo vectorial gradiente de la función potencial f) con solo conocer el valor de "f" en los extremos de C. De hecho el teorema nos expresa que la integral de línea de        es el cambio total de "f". Si "f" es una función de dos variables y C es una curva plana con punto inicial A(X1, Y1) y punto final B(X2 , Y2), entonces el teorema se convierte en:

se convierte en:

Si " f " es una función de tres variables y C es una curva en el espacio que une A(X1, Y1, Z1)   con  B(X2 , Y2, Z2), entonces tenemos:

Teorema de Green

Para otros usos, véase Teorema de la divergencia.

En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green, y resulta ser un caso especial del más general teorema de Stokes. El teorema afirma:

Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en el plano y sea D la región limitada por C. Si P y Q tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene D,

${\displaystyle \int _{C^{+}}(P\,dx+Q\,dy)=\int \!\!\!\int _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dA}$

A veces la notación

${\displaystyle \oint _{C^{+}}(P\,dx+Q\,dy)}$

se utiliza para establecer que la integral de línea está calculada usando la orientación positiva (antihoraria) de la curva cerrada C.